Wartości i wektory własne macierzy

Mówimy, że dana macierz $A$ $n \times n$ ma wektor własny $\overline{v}$ i odpowiadającą mu wartość własną $\lambda$ , jeżeli

$$A\overline{v} = \lambda \overline{v}$$

aby obliczyć wartości własne macierzy $A$ należy rozwiązać równanie

$$det(A - \lambda I) = 0$$

Wartości własne są niezmiennikiem danej macierzy, dla każdej macierzy $Q$ podobnej do macierzy $A$ wartości własny tych macierzy bedą takie same. Jeżeli pomnożymy macierz $A$ przez dowolną liczbę $\vartheta$ to wartości własne macierzy $\vartheta A$ bedą równe wartością własnym macierzy $A$ pomnożonymi przez liczbę $\vartheta$ :

$$\overline{\lambda_{\vartheta A}} = [ \lambda_{\vartheta A}^{(1)},... ...{(2)}, \ldots, \lambda_{\vartheta A}^{(n)}] = \vartheta \overline{\lambda_{A}}$$

natomiast wektory własne obu macierzy nie zmieniają się, operacja ta nazywa sie przesuwaniem wartości własnych macierzy Reasumując, jeśli odejmniemy od macierzy $A$ macierz $A- \vartheta I$ , to i-ta wartość własna $\lambda$ macierzy $A$ bedzie równa $\lambda_i- \vartheta$ .