Rotacja Givensa

Niech dana będzie macierz $A$ o wymiarach $m \times n$ ($m\geq n$ ). Dekompozycja QR wymaga wyznaczenia ortogonalnej macierzy $Q$ takiej, że:

$$Q^TA=\left [ \begin{matrix}R \crcr 0 \end{matrix} \right ]$$

a $R$ jest górną macierzą trójkątną $n \times n$ . A następnie rozwiązania układu $Rx=Py$ , gdzie $P$ jest macierzą $n$ pierwszych wierszy $Q$ .
Transformacja Householdera ,,czyści" całe kolumny z wyjątkiem pierwszego elementu wektora. Jeśli chcemy ,,wyczyścić" część macierzy zerując naraz tylko jeden element kolumny możemy użyć rotacji Givensa, która jest szczególnie wdzięczna do równoległej implementacji.
Macierz:

$$G=\left [ \begin{matrix} 1 & \dots & 0 & \dots & 0 & \dots & 0 \c... ...\vdots \crcr 0 & \dots & 0 & \dots & 0 & \dots & 1 \crcr \end{matrix} \right ]$$

z odpowiednio dobranym $c=\cos(\varphi)$ oraz $s=\sin(\varphi)$ dla pewnych kątów $\varphi$ może zostać użyta do wyzerowania elementu $a_{ki}$ .
Elementy moga być zerowane kolumna po kolumnie od dołu w następującej kolejności:

$$(m,1),(m-1,1),\dots ,(2,1),(m,2),\dots ,(3,2),\dots ,(m,n),\dots ,(n+1,n).$$

Wtedy $Q$ jest iloczynem $g=(2m+n+1)/2$ macierzy Givensa $Q=G_1G_2\dots G_g$ Na przykład do anihilacji dolnego elementu wektora $2\times 1$ :

$$\left [ \begin{matrix} c & s \crcr -s & c \end{matrix} \right ]^T... ...\end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} r \crcr 0 \end{matrix} \right ]$$

z warunków $sa+cb=0$ oraz $c^2+s^2=1$ dostajemy:

$$c=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^a}},s=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$.